Matemática básica Ejemplos

$(1 - y) ((2 - y) (- 3 - y)) - 24 + 12 y = 0$

Paso 1

Simplifica $(1 - y) (2 - y) (- 3 - y) - 24 + 12 y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Expande $(1 - y) (2 - y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(1 (2 - y) - y (2 - y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Paso 1.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(1 \cdot 2 + 1 (- y) - y (2 - y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Paso 1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(1 \cdot 2 + 1 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Paso 1.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$(2 + 1 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Paso 1.1.2.1.2

Multiplica $- y$ por $1$ .

$(2 - y - y \cdot 2 - y (- y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Paso 1.1.2.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(2 - y - 2 y - y (- y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Paso 1.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(2 - y - 2 y - 1 \cdot - 1 y \cdot y) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Paso 1.1.2.1.5

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1.5.1

Mueve $y$ .

$(2 - y - 2 y - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Paso 1.1.2.1.5.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$(2 - y - 2 y - 1 \cdot - 1 y^{2}) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Paso 1.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$(2 - y - 2 y + 1 y^{2}) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Paso 1.1.2.1.7

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$(2 - y - 2 y + y^{2}) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Paso 1.1.2.2

Resta $2 y$ de $- y$ .

$(2 - 3 y + y^{2}) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Paso 1.1.3

Expande $(2 - 3 y + y^{2}) (- 3 - y)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$2 \cdot - 3 + 2 (- y) - 3 y \cdot - 3 - 3 y (- y) + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Paso 1.1.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.1

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$- 6 + 2 (- y) - 3 y \cdot - 3 - 3 y (- y) + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Paso 1.1.4.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 6 - 2 y - 3 y \cdot - 3 - 3 y (- y) + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$- 6 - 2 y + 9 y - 3 y (- y) + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Paso 1.1.4.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 6 - 2 y + 9 y - 3 \cdot - 1 y \cdot y + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Paso 1.1.4.5

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.5.1

Mueve $y$ .

$- 6 - 2 y + 9 y - 3 \cdot - 1 (y \cdot y) + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Paso 1.1.4.5.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$- 6 - 2 y + 9 y - 3 \cdot - 1 y^{2} + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Paso 1.1.4.6

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Paso 1.1.4.7

Mueve $- 3$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 \cdot y^{2} + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Paso 1.1.4.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 y^{2} - y^{2} y - 24 + 12 y = 0$

Paso 1.1.4.9

Multiplica $y^{2}$ por $y$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.9.1

Mueve $y$ .

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 y^{2} - (y \cdot y^{2}) - 24 + 12 y = 0$

Paso 1.1.4.9.2

Multiplica $y$ por $y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.9.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 y^{2} - (y^{1} y^{2}) - 24 + 12 y = 0$

Paso 1.1.4.9.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 y^{2} - y^{1 + 2} - 24 + 12 y = 0$

Paso 1.1.4.9.3

Suma $1$ y $2$ .

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 y^{2} - y^{3} - 24 + 12 y = 0$

Paso 1.1.5

Combina los términos opuestos en $- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 y^{2} - y^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.5.1

Resta $3 y^{2}$ de $3 y^{2}$ .

$- 6 - 2 y + 9 y + 0 - y^{3} - 24 + 12 y = 0$

Paso 1.1.5.2

Suma $- 6 - 2 y + 9 y$ y $0$ .

$- 6 - 2 y + 9 y - y^{3} - 24 + 12 y = 0$

Paso 1.1.6

Suma $- 2 y$ y $9 y$ .

$- 6 + 7 y - y^{3} - 24 + 12 y = 0$

Paso 1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Resta $24$ de $- 6$ .

$7 y - y^{3} - 30 + 12 y = 0$

Paso 1.2.2

Suma $7 y$ y $12 y$ .

$19 y - y^{3} - 30 = 0$

Paso 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Factoriza $- 1$ de $19 y - y^{3} - 30$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Reordena $19 y$ y $- y^{3}$ .

$- y^{3} + 19 y - 30 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $- 1$ de $- y^{3}$ .

$- (y^{3}) + 19 y - 30 = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $- 1$ de $19 y$ .

$- (y^{3}) - (- 19 y) - 30 = 0$

Paso 2.1.4

Reescribe $- 30$ como $- 1 (30)$ .

$- (y^{3}) - (- 19 y) - 1 \cdot 30 = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (y^{3}) - (- 19 y)$ .

$- (y^{3} - 19 y) - 1 \cdot 30 = 0$

Paso 2.1.6

Factoriza $- 1$ de $- (y^{3} - 19 y) - 1 (30)$ .

$- (y^{3} - 19 y + 30) = 0$

Paso 2.2

Factoriza $y^{3} - 19 y + 30$ mediante la prueba de raíces racionales.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1$

Paso 2.2.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

Paso 2.2.3

Sustituye $2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $2$ es una raíz del polinomio.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1

Sustituye $2$ en el polinomio.

$2^{3} - 19 \cdot 2 + 30$

Paso 2.2.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 - 19 \cdot 2 + 30$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $- 19$ por $2$ .

$8 - 38 + 30$

Paso 2.2.3.4

Resta $38$ de $8$ .

$- 30 + 30$

Paso 2.2.3.5

Suma $- 30$ y $30$ .

$0$

Paso 2.2.4

Como $2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $y - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{y^{3} - 19 y + 30}{y - 2}$

Paso 2.2.5

Divide $y^{3} - 19 y + 30$ por $y - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$y$

$2$

$y^{3}$

$0 y^{2}$

$19 y$

$30$

Paso 2.2.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $y^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $y$ .

					$y^{2}$
	$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$

Paso 2.2.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			+	$y^{3}$	-	$2 y^{2}$

Paso 2.2.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $y^{3} - 2 y^{2}$ .

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$

Paso 2.2.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$

Paso 2.2.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$

Paso 2.2.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 y^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $y$ .

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$

Paso 2.2.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					+	$2 y^{2}$	-	$4 y$

Paso 2.2.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 y^{2} - 4 y$ .

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$

Paso 2.2.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$15 y$

Paso 2.2.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$15 y$	+	$30$

Paso 2.2.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 15 y$ por el término de mayor orden en el divisor $y$ .

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$15$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$15 y$	+	$30$

Paso 2.2.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$15$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$15 y$	+	$30$
							-	$15 y$	+	$30$

Paso 2.2.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 15 y + 30$ .

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$15$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$15 y$	+	$30$
							+	$15 y$	-	$30$

Paso 2.2.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$15$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$15 y$	+	$30$
							+	$15 y$	-	$30$
										$0$

Paso 2.2.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$y^{2} + 2 y - 15$

Paso 2.2.6

Escribe $y^{3} - 19 y + 30$ como un conjunto de factores.

$- ((y - 2) (y^{2} + 2 y - 15)) = 0$

Paso 2.3

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Factoriza $y^{2} + 2 y - 15$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Factoriza $y^{2} + 2 y - 15$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 15$ y cuya suma es $2$ .

$- 3, 5$

Paso 2.3.1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((y - 2) ((y - 3) (y + 5))) = 0$

Paso 2.3.1.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- ((y - 2) (y - 3) (y + 5)) = 0$

Paso 2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (y - 2) (y - 3) (y + 5) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y - 2 = 0$

$y - 3 = 0$

$y + 5 = 0$

Paso 4

Establece $y - 2$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Establece $y - 2$ igual a $0$ .

$y - 2 = 0$

Paso 4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 2$

Paso 5

Establece $y - 3$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Establece $y - 3$ igual a $0$ .

$y - 3 = 0$

Paso 5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 3$

Paso 6

Establece $y + 5$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Establece $y + 5$ igual a $0$ .

$y + 5 = 0$

Paso 6.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 5$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (y - 2) (y - 3) (y + 5) = 0$ verdadera.

$y = 2, 3, - 5$